UE821 - Oppositions et complémentarités du numérique et du continu sur le temps long dans le processus de mathématisation

Intervenant·e·s

• Jean Dhombres [référent·e]   directeur d'études (retraité·e), EHESS / Centre Alexandre-Koyré. Histoire des sciences et des techniques (CAK)

Compte tenu de la prégnance de l’IA, une controverse s’engage aujourd’hui sur le rôle du numérique dans la modélisation mathématique, rejaillissant forcément sur la pratique mathématique elle-même. Et si une opposition se manifeste avec tout ce que représente le continu, car moins programmable et donc ne permettant pas la souplesse algorithmique proche de l’expérimentation en physique, il y a aussi bien un regret non seulement de la droite réelle et des courbes paramétrées de la géométrie analytique, mais encore du sens du différentiel et de l’espace qui donne l’idée de méthodes directes, au sens de non artificialisées par le calcul. Je ne veux pourtant pas adopter un point de vue perspectif dans l’histoire du processus de mathématisation, car ce serait estimer analogues ces débats, alors que l’histoire des mathématiques apprend, si l’on veut bien analyser, à constater des changements profonds dans les concepts paraisssant bien établis, et donc des retournements. Le mot calcul est  bien utilisé dans les deux bords que je veux cerner, calcul sur les nombres, calcul sur le différentiel, mais aussi calcul fonctionnel qui donne une idée de ce qu’on peut appeler la causalité mathématique par l’établissement de lois, que l’on voyait deès le milieu du XXe siècle comme les lois de morphismes de structures, et qu’aujourd’hui on prèfère dire comme algorithmes. Mon objectif est de montrer que, quoique sur des aspects nouveaux, le débat sur les formes du calcul est bien du long terme. Je choisis certes quelques épisodes, classiques ou non, de la mathématisation, à partir de ce qu’on a appelé la crise des irrationnels au IV^e siècle avant notre ère jusqu’aux questions de calculabilité de Turing, en passant par le Calcul différentiel et intégral de Newton et Leibniz et les indivisibles de Cavalieri. Et si je me sers de textes originaux d‘acteurs mathématiciens, n’oubliant pas à chaque fois de situer un contexte, je me sers aussi de quelques analyses philosophiques, voire pour situer quelques grands thèmes quelquefois trop galvaudés, pythagorisme, aristotélisme, empirisme, positivisme ou formalisme. 

Jeudi 15 octobre 2026 : La soi-disant crise des irrationnels du IV^e siècle avant notre ère révèle-t-elle une déficience du numérique par rapport au continu géométrique ? 

Jeudi 19 novembre 2026 : L’algorithme ancien des fractions continues et la calculabilité comme forces du numérique.

Jeudi 17 décembre 2026 : Les “indivisibles indéfinis“ de Roberval et de Pascal comme renouveau numérique face au géométrisme de Cavalieri.

Jeudi 21 janvier 2027 : Une histoire mathématique des codes à partir de François Viète au XVI^e siècle.

Jeudi 18 février 2027 : Les logarithmes du XVII^e siècle jusqu“au calcul différentiel et intégral, entre tables numériques et lois de la nature, comme jonction du nombre et du continu.

Jeudi 18 mars 2027 : La causalité par les mathématiques et les équations fonctionnelles en mettant l’accent sur la critique de la loi de Fechner en psychologie. 

Jeudi 15 avril 2027 : La place des “Lettres“ chez Leibniz et chez Newton en vue de la notion de fonction. 

Jeudi 13 mai 2027 : Entre le continu et le dénombrable ? Que pourrait singifier l’existence d’un infini distinct ? 

Jeudi 17 juin 2027 : La théorie spectrale des opérateurs entre numérique et continu.